МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ІКТА, кафедра “Захист інформації”
ЗВІТ
З ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ № 6
З КУРСУ “ КОМП’ЮТЕРНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ТА СИСТЕМ ”
НА ТЕМУ: “ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ“
Варіант 19
Львів – 2007
Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь
КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції.
Приклад:
(1)
(2)
Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних
Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) -го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до -го порядку включно:
(3)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції.
Диференціальне рівняння -го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(4)
Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної.
Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші.
Якщо ці значення задаються при або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою.
Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними.
Задача Коші
Задача Коші формулюється так:
Нехай задане ДР
(5)
з початковими умовами . Потрібно знайти функцію , що задовольняє дане рівняння, та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст , переходять до нової точки
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива . Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної.
Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші.
Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій потрібна інформація лише про попередній крок. (Однокроковими є метод Ейлера та методи Руте-Кутта.)
Багатокрокові (або методи прогнозування та коригування). Для знаходження наступної точки кривої вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. До них належать методи Адамса, Мілна, Хеммінга.
Це чисельні методи розв’язування ДР. Вони дають розв’язок у вигляді таблиці значень.
2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Розв’язати чисельним методом звичайне диференційне рівняння.
БЛОК-СХЕМА ПРОГРАМИ
ТАБЛИЦЯ ІДЕНТИФІКАТОРІВ КОНСТАНТ, ЗМІННИХ, ФУНКЦІЙ, ВИКОРИСТАНИХ У ПРОГРАМІ, ТА ЇХ ПОЯСНЕННЯ:
func()
Функція вичислення правих частин рівняння
ys[]
Перша похідна
t
Незалежний аргумент
Adams()
Функція, яка реалізує метод Адамса
f()
Функція вичислення правих частин системи
*y
Масив розмірності n значень залежних змінних
*ys
Масив розмірності n значень похідних
tn
Початок інтервалу інтегрування
tk
Кінець інтервалу інтегрування
m
Початкове число розбивань відрізка інтегрування
eps
Відносна похибка інтегрування
*k1,*k2,*k3,*k4
Змінні для методу Рунге-Кутто
*q0,*q1,*q2,*q3
Значеннязмінних для методу Адамса
*ya
Тимчасовий масив
*y0,*y1,*y2,*y3
Значення функцій для метода Адамса
h
Крок інтегрування
xi
Значення незалежної змінної
eps2
Для оцінки похибки
dq2,dq1,dq0,d2q1,d2q0,d3q0
Похідні
flag
Приймає значення 0, коли йдеперший підрахунок
i,j
Індекси
y[0]
Початкові умови
xs,xe
По...
